實變函式

，是為了

擴大積分範圍

而引出來的一個數學分支。

據說，

狄利克雷

提出了這麼一個函式去挑戰

黎曼積分

：

f（x）在

有理數

上等於1，在

無理數

上等於0，求

這類函式的特點都是在定義域上

不連續

：在

任何一個

足夠小的

鄰域

內，函式值都是

振盪

的。

因為黎曼積分是按照

定義域劃分

區間，然後

求和

，並取區間的

長度趨向於0

時的極限，所以要求：在非常小的定義域上，

函式值的變化

也得非常小。

也就是說，x趨向於x0時，f（x）也得趨向於f（x0）。

但是

有理數在實數內稠密

，當函式值在

有理數上

和

無理數上

差別很大時，黎曼積分就沒法積分了。

為了解決這個問題，法國數學家

勒貝格

提出了

改用值域劃分

積分範圍的方法，就是

實變函式論

。

黎曼積分的本質是

按定義域求和

：

如果是用C語言來

近似計算

，就是這樣：

double

sum = 0；

for （

double

i = a； i <= b； i += （b - a） / N） {

sum += f（i） * （b - a） / N；

}

迴圈次數

N越大

，

間隔

（b - a） / N

越小

，算出來的積分值

越精確

。

但是，當按照

函式值

來劃分間隔時，每個函式值

對應的範圍

就

不是區間

了，而是一個

集合

：

以函式值劃分區間

積分的數值計算程式碼就變成這樣的了：

double

sum = 0；

for （

double

y = ya； y <= yb； y += （yb - ya） / N） {

sum += y *

Width{x | y = f(x)}

；

}

函式值y

對應的

定義域x的寬度

，

該是多少

？［呲牙］

實變函式要解決的，就是這麼個問題！

如果能按

定義域劃分

的話，肯定就按定義域劃分了。

如果沒法按定義域劃分，只能按

值域劃分

，那麼劃分之後的

“定義域的寬度”

該怎麼計算？

如果

定義域

是

有理數集

，那麼

有理數的寬度

是多少？

1，有理數是可數的，

大數學家

康託

提出了一個概念，能夠跟

自然數集

一一對應的集合，都叫

可數集

。

也就是說，這些集合的元素，可以按照0， 1， 2， 3， 4， 。。。， 這麼

依次編號

。

有理數的排列-對角線

有理數的

分子

和

分母

都是

整數

，康託按照

對角線

去排列有理數的順序，就與自然數建立了一一對應關係：也就證明了有理數是可數的。

凡是

可數的

集合，它的元素都是

離散的

。

早在

歐幾里德

的幾何原本裡，

離散的點

就是

沒有長度

的：所以規定

可數集的“寬度”是0

。

“寬度”

這個詞太容易

混淆

了，所以勒貝格把它叫做

測度

。

2，實數是不可數的，

因為實數是連續的，沒法把

實數區間

裡的

所有點

都編上號，所以實數是不可數的。

這個證明方法就是

康託三分集

：

A，把一個區間分成3段（有2個分隔點），3段的編號依次以0、1、2開頭，

B，取中間一段，再分成更小的3段，編號依次以10，11，12開頭（需要2位數），

C，這麼依次編下去，總有

至少1個點

是

編不上號

的：

如果能編上的話，實數就

連續不起來

了。

透過研究有理數、實數與自然數的

對應關係

問題，康託發現了有理數和實數是

不一樣

的，然後預言了

超越數

是存在的。

實數區間的

測度

（寬度），就是

兩個端點

的差的絕對值：|b - a |。

有理數的測度，因為它是可數集，測度是0。

所以，

間斷點

是一個

可數集

的函式，在按

值域劃分

時，就

可以積分

了！

這就是

勒貝格積分

。

3，比較大小，

比較大小

，本身是給集合的

元素

規定一種

順序

：

a < b， b < c， 那麼 a < c。

a < b，那麼 b > a。

只要滿足這2個關係的，就可以按照順序進行

二分查詢

。

對於按

順序排列

的一組數字，要查詢裡面

是否有某個數字

的話，可以先看

中間那個

：

A，如果相等，就找到了，

B，如果小於，就看左邊，

C，如果大於，就看右邊。

計算機裡所有的

查詢

和

排序

演算法，都是基於元素

可以比較大小

。

可以比較大小的情況下，比較一次就能

定位好些個

元素的情況，而不是比較一次只能

定位2個元素

的情況。

但不是所有的集合都能比較大小，一般認為

複數

是沒法比較大小的，而實數可以。

複數也可以給它

規定順序

：先比較

“模”

的大小，再比較

輻角

的大小。

當然

數學家們

為了嚴謹，是肯定要搞出

一大堆的證明

來，讓人學上10遍的［捂臉］

複數的比較

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